Archive

Tag Archives: mythbusting

Probablement estiguis pensant que he perdut el seny.

Com ha de ser discutible que la línia recta és el camí més curt? És matemàtic, és elemental. Ho vam aprendre tots a Primària. És una d’aquelles veritats absolutes encapsulades en una frase formulaica que la gent repeteix com si fos un mantra o les ensenyances d’una religió.

Doncs, amics meus, els camins de la Geometria són inescrutables.

Bé, de fet no. Precisament la Geometria és una de les poques ciències en què tot encaixa com per art de màgia i no hi ha marge d’error possible. La Geometria és pura matemàtica i, com a tal, és previsible i exacta.

Llavors què és això de que una recta pot no ser el camí més curt? Expliquem-nos.

Que la recta és el camí més curt entre dos punts és clar sobre el paper, una conseqüència directa de la definició de distància euclídia.

I aquí ve el primer mal de cap: què vol dir això de “distància euclídea”? És que hi ha distàncies diferents? Doncs sí. En Geometria, el concepte “distància” no és més que una fòrmula matemàtica. Qualsevol cosa pot ser una distància, sempre que compleixi unes determinades propietats: la no negativitat (la distància entre dos punts sempre ha de ser un valor positiu: no té sentit dir que dos objectes estan separats -5 metres), la simetria (això és fàcil d’entendre: la distància entre un punt A i un punt B ha de ser la mateixa que entre B i A, sense dependre d’en quin sentit la mesurem), la identitat dels indiscernibles (cosa que sona molt complicada, però que només vol dir que, si la distància entre A i B és zero, llavors A ha de ser necessàriament igual a B: és a dir, que dos punts diferents no poden ocupar el mateix lloc en l’espai) i una última que s’anomena la desigualtat triangular, que és la que més ens interessa.

La desigualtat triangular diu que la distància entre A i B serà sempre inferior (o, com a màxim, igual) a la suma de les distàncies entre A i C i entre C i B. Que què? Doncs que anar directament d’un punt a l’altre sempre serà més curt que passar per un tercer punt.

Al tanto, que anar directament d’un punt a l’altre no necessàriament vol dir anar en línia recta de l’un a l’altre punt. Això coincideix per a la distància euclídia (la que estem acostumats a utilitzar), però per a altres definicions de distància el concepte “línia recta” pot ni tan sols no tenir sentit.

És exactament el què passa amb el món real. Quan he dit que era clar sobre el paper, ho he dit en el sentit més literal de l’expressió: funciona bé sobre el paper, perquè el paper és una superfície plana.

Però el món no és una superfície plana, sino un el·lipsoide. No es pot traçar una línia autènticament recta en la superfície d’un el·lipsoide. Si volguéssim anar en línia recta d’un punt de la Terra a l’altre, hauríem d’excavar un túnel en l’espai tridimensional: un túnel perfectament recte que, travessant l’escorça, ens conduís d’un lloc a l’altre.

Però no és així com ens desplacem pel nostre planeta (afortunadament), sino recorrent-ne la superfície bidimensional corba. En conseqüencia, ens trobem en un cas de Geometria no-euclídia, en què les línies rectes no existeixen i els tres angles d’un triangle no tenen per què sumar 180º.

Això normalment no té cap importància a escala local: quan ens movem per una ciutat en la nostra vida quotidiana, ho fem com si fos plana. (De fet, anomenem plànol al mapa que utilitzem per orientar-nos-hi). No té cap sentit considerar la corbatura terrestre a aquesta escala, perquè la seva influència és mínima. Així que, senzillament, la negligim, tractem el nostre entorn com si fos pla i apliquem la Geometria euclídia de tota la vida.

Aquesta imatge (que he tret de Wikipedia), no té preu: podem veure la diferència de geometries a les dues escales: no-euclídia a escala global i pràcticament euclídia i plana a escala local. Fixeu-vos en la suma dels angles dels triangles.

Ara bé, la cosa canvia quan parlem de grans distàncies. És el cas, per exemple, de la navegació marítima o aèria, on fa molt de temps que van descobrir que amb això de les línies rectes no tenien gaire futur. En efecte, has de recórrer mig món amb el teu vaixell (o avió), t’interesses força per quin és el camí més curt per arribar-hi. I com ho fan? Doncs seguint les anomenades loxodròmiques o línies de rumb constant.

Les loxodròmiques es coneixen ja des de 1546. No són el camí més curt possible entre dos punts (que correspon a les ortodròmiques, o arcs del cercle màxim), però sí que han estat, tradicionalment, molt més fàcils de seguir. Mentre que tractar de seguir una ortodròmica obliga a continus canvis de rumb i correccions, una loxodròmica descrita entre dos punts talla tots els meridians segons el mateix angle, cosa que equivaldria a dirigir-se sempre cap al mateix punt de la brúixola (per això s’anomenen línies “de rumb constant”). En aquest aspecte, el nostre cervell les interpreta com a “rectes”. De fet, una de les raons de l’utilització massiva de la projecció de Mercator al llarg dels últims 500 anys és que, en ella, les loxodròmiques hi apareixen com a línies rectes. Però no ens equivoquem: disten molt de ser rectes. En realitat, si allarguéssim una loxodròmica qualsevol fins als seus extrems, tindríem una espiral enroscada al voltant de la Terra, des d’un pol a l’altre.

Més fàcil és de representar-nos una ortodròmica: si imaginem la Terra com una esfera (en realitat és un el·lipsoide, però és més senzill imaginar-s’ho amb circumferències que no pas amb el·lipses), una ortodròmica entre dos punts (posem-hi A-New York i B-Londres, que més o menys encaixen amb el dibuix) consisteix en moure’s seguint l’única circumferència de la superfície de l’esfera que, tenint com a centre el centre de l’esfera, passa per aquests dos punts. Que què? Doncs que, de la mateixa manera que, en un pla, per dos punts qualssevol sempre hi passa una recta, en la superfície d’una esfera per dos punts qualssevol sempre hi passa una circumferència que “talla” l’esfera en dues meitats iguals: el cercle màxim. Exemples de cercle màxim serien l’Equador i els meridians (els paral·lels, per contra, no serien cercles màxims, ja que els seus centres no coincideixen amb el de la Terra i, per consegüent, no tallen el planeta en dues meitats iguals). Si ens movem d’un punt a l’altre seguint aquest cercle màxim que passa per tots dos, haurem fet el camí més curt possible entre ells, la seva ortodròmica.

Però, com deiem, una ortodròmica no és evident sobre el terreny: al contrari que una loxodròmica, creua cada meridià segons un angle diferent, cosa que obliga a continus ajustaments del rumb i que constitueix la raó per la qual històricament s’ha navegat utilitzant les loxodròmiques (que, al capdavall, tampoc no són gaire més llargues que l’ortodròmica entre els mateixos punts). Ara bé, com tot, amb el desenvolupament de les noves tecnologies, la progressiva automatització de tots els processos, el GPS i totes les altres ajudes a la navegació, cada cop es fa més senzill abandonar la navegació loxodròmica i acostar-se més a l’ortodròmica.

Qui sap? Potser no falta tant per a què viatgem seguint sempre el camí més curt entre els dos punts. Però de l’única cosa que puc estar segur és que no serà una recta.

P.D. Potser seria interessant notar que, tot i no ser cercles màxims, els paral·lels tallen tots els meridians amb el mateix angle (90º), amb el què constitueixen un cas particular de loxodròmiques. Fixem-nos, llavors, que això fa de l’Equador una ortodròmica i una loxodròmica al mateix temps. El mateix raonament pot aplicar-se als meridians (que serien ortodròmiques al mateix temps que loxodròmiques d’angle 0º).

Advertisements

Probablement recordeu la primera entrega de la cacera de mites de Hinterlands, on desmuntàvem la clàssica escena de pel·lícula en què una persona s’ofega sepultada en arenes movedisses. Com vam veure aleshores, és impossible que un cos humà s’enfonsi completament en aquest tipus de fluid, per un principi tan senzill com l’Empenta d’Arquímedes: com que la densitat de les arenes movedisses és superior a la del cos humà, l’empenta que experimentarem cap amunt s’equilibra amb la força que ens estira cap abaix (l’atracció gravitatòria de la Terra, que es tradueix en el nostre pes) per a un determinat volum submergit. En el nostre cas, aquest volum correspon aproximadament al maluc o al pit, de manera que mai no ens enfonsarem més que això.

Amb això no vull dir que les arenes movedisses no siguin perilloses. Sí que ho són. Però el seu perill ve més aviat de la dificultat de moure-s’hi un cop dins. Unes arenes movedisses et poden deixar atrapat fins que moris de set, gana o una insolació (o, en regions costaneres, fins que pugi la marea), però mai no t’hi enfonsaràs en pocs segons mentre sona una música dramàtica de fons.

Continuant amb l’esperit de la nostra cacera de mites, avui presentem aquesta mena de seqüel·la bloguera, en què ens dedicarem a una altra de les escenes clàssiques que la filmografia ha inscrit en les nostres retines; una que té força paral·lelismes amb l’anterior: l’enfonsament en lava.

El desenvolupament de l’escena no és gaire diferent del cas de les arenes movedisses. Li manca, en aquest cas, l’efecte sorpresa (una piscina/riu de lava no és quelcom que es pugui ocultar amb una capa de fulles seques), però ho compensa amb dosis de tensió i dramatisme més elevades: conegudes són les lluites sobre la lava, les persecucions sobre pedres a mig fondre, el que si cau, que si no cau… Però, un cop el dolent desafortunat en qüestió cau a la lava (els protagonistes no hi cauen mai, que tothom sap que de la lava no te’n treuen), el procès és el mateix que el de les arenes movedisses: s’hi enfonsa en pocs segons, normalment aixecant les mans en un gest inútil, però ple de tensió escènica.

La veritat és que no m’havia plantejat la simil·litud entre les dues escenes fins que no vaig llegir un parell d’articles sobre el tema (aquest, d’Antonio Martínez Ron per a Amazings i aquest, d’Eric Klemetti per a la revista Wired).

Només cal fer una ullada als títols dels articles per comprovar que, un cop més, l’escena que ens ha mostrat Hollywood desenes de vegades entra en flagrant conflicte amb la realitat.

Al contrari del què passa amb les arenes movedisses, tots tenim una idea força acurada de què és la lava: roca fosa, a elevades temperatures, expulsada més o menys violentament de les entranyes de la Terra i que (pel Principi Zero de la Termodinàmica) comença lentament a refredar-se i solidificar-se tan bon punt surt a l’exterior.


Igual que amb les roques, segons la seva composició i temperatura podem trobar infinitats de tipus de lava, amb característiques i comportaments més o menys diferents. Tanmateix, de manera força general, direm que la densitat de la lava és una mica superior al triple de la densitat de l’aigua. Això en fa un material més dens que el formigó (que té una densitat de 2.5-2.7 vegades la de l’aigua) i el doble de dens que les arenes movedisses.

Com ja hem vist, això vol dir que el formigó sura en lava, les arenes movedisses suren en lava i el cos humà (que recordem que té pràcticament la mateixa densitat que l’aigua) sura en lava. I, si en les arenes movedisses només ens hi enfonsaríem fins al maluc, a la lava difícilment ens hi submergiríem fins més amunt del genoll.

Però hi ha una altra propietat que encara complica més la ja de per sí titànica tasca d’enfonsar-se en la lava: la viscositat. La viscositat és un paràmetre que indica la resistència d’un fluid a comportar-se com a tal: com més viscós és un fluid, més difícil i lent és deformar-lo. És un fenòmen que tots hem comprovat quan fem qualsevol moviment sota l’aigua: trobem una resistència que se’ns oposa. Per contra, el fluid en el què estem immersos el 99% del nostre temps (l’aire) té una viscositat pràcticament nul·la, que només es fa sentir a altes velocitats. Per això els avions, trens i vehicles que s’han de moure ràpidament requereixen de perfils aerodinàmics, que els permeten travessar (deformar) l’aire amb més eficiència.

La lava té una viscositat entre 100.000 i un milió de vegades superior a la de l’aigua. Molt barroerament, podríem dir que això fa que ens costi un milió de vegades més enfonsar-nos en lava que en l’aigua. Així doncs, si en l’aigua ens enfonsem en un segon, per enfonsar-nos en lava necessitaríem un milió de segons: més de 10 dies!

Així doncs, si qualsevol de nosaltres caigués en un riu de lava, necessitaría 10 dies per enfonsar-se fins als genolls. Com us he dit, el càlcul és molt inexacte i passa per alt moltes propietats dels fuids (com ara la tixotropia), però, encara que només triguéssim unes hores, l’efecte d’una caiguda en la lava seria molt més semblant al de quedar-se dempeus sobre un matalàs elàstic que no al d’enfonsar-se en un líquid.

Però no us preocupeu, que no tindríem temps de meravellar-nos-en. La lava fosa està a temperatures que ronden els 900-1.200 ºC, comparables a les que s’assoleixen a l’interior d’un alt forn. Un cos humà en aquesta situació s’inflamaria instantàniament. Sense més. Com un llumí. Penseu-hi, també, quan veieu escenes en què els personatges caminen o lluiten sobre roques mig enfonsades a la lava, a dos dits escassos de la superfície. Encara que no la toquin, la temperatura que suportarien com a mínim a les cames seria suficient com per a convertir-los en autèntiques torxes humanes. Però sense heroïcitat, ni Fantastic Four, ni possibilitat d’apagar-se.

La clàssica escena de les arenes movedisses, a Indiana Jones and the Kingdom of the Cristal Skull (2008).

Tots en tenim la imatge; Hollywood ens l’ha oferta tantes vegades que ja forma part de l’imaginari col·lectiu: l’heroi (o el dolent) va caminant/corrent per la selva, sense mirar on posa el peus i… xof! De cop queda immòbil, amb cara de no entendre què passa. Mira cap avall, i es troba amb les cames ficades fins la cintura en el que sembla una piscina de sorra de platja, en la que comença a enfonsar-se sense remei. El que succeeixi a continuació dependrà de quin sigui el seu rol en la història: si és l’heroi, els seus companys trobaran una corda, una branca o quelcom a què es podrà agafar per sortir d’aquell parany mortal; si, per contra, és un dels dolents, el seu final està decidit, i s’enfonsarà molt dramàticament en les arenes movedisses en qüestió.

Quanta realitat hi ha en aquestes escenes? Poca.

Anem per punts. Per començar, les arenes movedisses no són un invent de la ficció. La Wikipedia les defineix com un col·loide hidrogel, que són unes paraulotes que sonen així molt complicades, però que estan presents en la nostra vida quotidiana, ens trobem on ens trobem.

Un col·loide és un material (o sistema) format per dos components (o fases) que, en principi, no són clarament distingibles, en què un es troba en suspensió dins l’altre. Ambdos components poden trobar-se en diferents estats de la matèria. Són col·loides, per exemple, la llet (líquid en líquid), la boira (líquid en gas), el fum (sòlid en gas), el vidre (sòlid en sòlid), el formatge (líquid en sòlid), la pasta de dents (líquid en sòlid) o la mateixa sang que corre per les teves venes (sòlid en líquid).

Els col·loides reben diferents noms segons els estats de la matèria en què es troben les seves fases dispersada i dispersant, i que són d’ús més quotidià que no pas la paraulota “col·loide”. Així doncs, quan us parlin d’escuma us estan parlant de gas dispersat en un líquid, mentre que un aerosol (com les laques o els desodorants) és justament el contrari: un líquid dispers en un gas. Un sistema col·loidal en què les dues fases es troben en estat líquid rep el nom d’emulsió, mentre que gel és el nom que rep un col·loide en què un líquid es dispersa en un sòlid. La denominació d’hidrogel de les arenes movedisses només especifica que aquest líquid és l’aigua.

Les arenes movedisses són, llavors, un sistema col·loidal format per partícules d’aigua disperses en un medi sòlid, que és la sorra. Ara bé, tot sòl o terreny està format per partícules sòlides, que tenen una certa porositat, i que poden omplir-se d’aigua o aire segons les condicions ambientals i la profunditat. Però això no vol dir que qualsevol sòl sigui un col·loide. En general, no ho són, ja que les dues fases (tres si hi ha aire) no es troben en suspensió, sino que les partícules minerals formen un esquelet sòlid més o menys estable, en els buits dels quals es distribueixen l’aigua i/o l’aire. Si tots els porus estan plens d’aigua, parlem d’un sòl saturat.

Les arenes movedisses es formen per un procés anomenat liqüefacció, que pot tenir diversos orígens, entre ells el sísmic (la liqüefacció sísmica és una de les principals causes dels danys provocats pels terratrèmols) o unes determinades condicions de circulació de l’aigua subterrània. Quan això es produeix, la pressió de l’aigua continguda en els porus de la sorra augmenta fins a compensar les forces de contacte entre les partícules de l’esquelet sòlid. En aquesta situació, l’aigua actua com a lubricant, permetent el moviment d’unes partícules respecte de les altres i convertint el sistema ja no en un sòlid que conté aigua, sino en un fluid col·loidal.

Un fluid és un material que no té resistència a les tensions de tall (o de cisalla). Què vol dir això? Doncs a grans trets que no presenta forma definida, sino que s’adapta al recipient que el conté, i que és incapaç de sostenir una càrrega localitzada (com el pes d’un objecte sobre la seva superfície). Així doncs, és impossible caminar per la superfície d’unes arenes movedisses, igual que ho és fer-ho per la de l’aigua (digui el que digui la Bíblia).

Però ens estem oblidant d’una altra propietat present en tots els fluids: l’empenta o Principi d’Arquímedes. El Principi d’Arquímedes és una cosa que s’estudia a totes les escoles. Als més afortunats, fins i tot se’ls explica la llegenda que en rodeja el descobriment, comparable a la de la poma caient de l’arbre davant dels ulls, o sobre el cap, de Newton (l’emplaçament de la caiguda varia segons la versió). Segons ella, Arquímedes hauria arribat a la conclusió que el portà a definir el principi que duu el seu nom quan, en ficar-se a la banyera, va observar que el nivell de l’aigua pujava. Tot seguit, presa de l’eufòria, hauria sortit corrent pels carrers de Siracusa encara nu i mullat, cridant el conegut “Eureka!” (“Ho he trobat!”). Un home de celebracions impetuoses, Arquímedes.

Com tots recordem (frase que ja se sap que és mentida en moltes ocasions, però que queda molt educada i elegant per introduir un tema), el Principi d’Arquímedes resa que “tot cos submergit en un fluid experimenta una empenta en direcció ascendent igual al pes del volum de fluid que desplaça”. L’empenta o Principi d’Arquímedes és la força responsable de la flotabilitat: sense ella qualsevol cos que caigués en un fluid s’enfonsaria sense remei fins que topés amb el fons sòlid que el contingués. Gràcies al Principi d’Arquímedes som capaços de nedar, navegar en barques i vaixells o flotar en l’aire dins d’un globus aerostàtic (el vol en aviò o helicòpter depèn d’un altre fenòmen anomenat sustentació i del que ja parlarem en una altra ocasió).

Una conseqüència més intuïtiva del Principi d’Arquímedes és que un cos flota en un fluid si té igual o menor densitat que aquest. Això es deriva automàticament de considerar les forces que actuen sobre el cos i el Principi d’Arquímedes: el cos és estirat cap avall per la gravetat de la Terra (la mateixa que atreia la poma de Newton) i empés cap amunt per l’empenta d’Arquímedes. La força amb què la Terra atrau el cos és el pes d’aquest, mentre que l’empenta d’Arquímedes té un valor igual al què pesaria el cos en qüestió si estés fet d’aigua. És fàcil veure que, si el material que forma el cos és més dens que l’aigua, el pes serà major que l’empenta i el cos s’enfonsarà, mentre que si ho és menys l’empenta serà més gran, i llavors tindrà tendència a ascendir, fins a arribar a l’equilibri, que es dóna quan la part submergida del cos desplaça un volum d’aigua suficient com per igualar el pes de l’objecte.

El cos humà té una densitat aproximada de 1,01 vegades la de l’aigua (és a dir, pràcticament la mateixa). Cal tenir en compte l’aire que omple els pulmons, que actuen com a dos flotadors a l’interior del nostre cos, i que ens permeten fer el mort i surar sense haver de fer moviments per nedar. (Quan nedem, estem provocant una força addicional a l’empenta que podria identificar-se amb la sustentació dels avions: en empènyer l’aigua cap avall, aquesta ens empeny a nosaltres cap amunt pel principi d’acció i reacció. Per això és més fàcil sostenir-se a la superfície si ens movem que si ens quedem quiets).

Les arenes movedisses, en canvi, tenen una densitat aproximada de 1,6 vegades la de l’aigua. És a dir, l’empenta que rep tot cos submergit en arenes movedisses és un 60% superior a la què rep el mateix cos submergit en aigua. Si un humà pot flotar amb facilitat sense fer cap mena de moviment al Mar Mort, l’aigua del qual, degut al seu elevat contingut de sals, té una densitat només un 24% superior a la de l’aigua corrent, com no ha de flotar en arenes movedisses?

Recapitulem: les arenes movedisses existeixen, però un cos humà (fins i tot un cos humà immòbil, a pes mort) hi sura amb facilitat, ja que les forces que el sostenen són aproximadament un 60% majors que les forces que l’intenten enfonsar. El perill de les arenes movedisses és que, precisament a causa de la seva alta densitat, és molt difícil moure’s-hi i s’hi pot quedar fàcilment atrapat, però de cap manera els dramàtics i inevitables enfonsaments que ens ha presentat des de sempre Hollywood.

Com diu un conegut professor de l’Escola Tècnica Superior d’Enginyers de Camins, Canals i Ports de Barcelona, “La única manera de ahogarse en arenas movedizas es metiendo la cabeza debajo”.