Archive

Tag Archives: geometry

Sempre és arriscat començar una conversa amb “no sé si a vosaltres també us passa…”. No obstant, m’hi exposaré:

No sé si a vosaltres també us passa, pero jo sempre he sentit a parlar de les antípodes com una cosa que estava molt lluny, sense saber gaire bé què volia dir. Em pensava que eren un arxipèl·lag, alguna cosa així com les Azores o les Illes Caiman: les “Illes Antípodes”. Sona a platja i cocoters i a paradís fiscal, no?

Resulta que no.

A la pregunta “on son les antípodes?”, la resposta correcta és “depèn d’on et trobis”. De fet, si acceptem que dos cossos no poden ocupar exactament el mateix punt de l’espai, les antípodes són a un lloc diferent per a cada persona del món.

Això ja comença a sonar a màgia, o a massa pinyes colades preses sota la palmera, però tampoc no va per aquí. El què passa és que les antípodes no són un arxipèl·lag, ni una terra de fantasia, sino un concepte geodèsic.

Les antípodes no són altra cosa que el punt oposat del globus a aquell a què ens referim (o, per defecte, aquell en què ens trobem). És a dir, aquell al què arribaríem si poguéssim excavar un forat en línia recta cap avall passant a través del nucli i sortint per l’altra banda.

Passa que, sent el 70% de la superfície mars i oceans, l’absoluta majoria del món té les seves antípodes en l’aigua, de manera que les antípodes acaben sent un concepte una mica més avorrit que quan érem nens i ens imaginàvem que fent un forat arribaríem a la Xina o a Austràlia. En realitat, en l’absoluta majoria dels casos, no arribaríem a cap altre lloc que al fondo del mar, materile-rile-rile.

Mapa del món i de l’ “anti-món”. En taronja, les poques zones que coincideixen amb terra emergida en les seves antípodes. Podeu trobar la imatge a Wikipedia.

Però, per si algú té curiositat i temps lliure (una combinació que ha portat a la majoria dels grans descobriments de la Humanitat), pot entretenir-se una estona amb aquest link, on podrà trobar les antípodes de qualsevol punt del planeta. Descobrirà que, al capdavall, no haguéssim acabat ni a la Xina ni a Austràlia, si haguéssim pogut excavar aquell forat, sino en algún punt no gaire lluny de la costa de Nova Zelanda. Evidentment, sota el mar. Descobrirà també que, mentre pràcticament tota Europa té les seves antípodes passades per aigua, les de Madrid recauen sobre l’Illa Nord de Nova Zelanda.

I és que, per molt que vulgui, Madrid no té mar. Ni tan sols a les antípodes.

Advertisements

Probablement estiguis pensant que he perdut el seny.

Com ha de ser discutible que la línia recta és el camí més curt? És matemàtic, és elemental. Ho vam aprendre tots a Primària. És una d’aquelles veritats absolutes encapsulades en una frase formulaica que la gent repeteix com si fos un mantra o les ensenyances d’una religió.

Doncs, amics meus, els camins de la Geometria són inescrutables.

Bé, de fet no. Precisament la Geometria és una de les poques ciències en què tot encaixa com per art de màgia i no hi ha marge d’error possible. La Geometria és pura matemàtica i, com a tal, és previsible i exacta.

Llavors què és això de que una recta pot no ser el camí més curt? Expliquem-nos.

Que la recta és el camí més curt entre dos punts és clar sobre el paper, una conseqüència directa de la definició de distància euclídia.

I aquí ve el primer mal de cap: què vol dir això de “distància euclídea”? És que hi ha distàncies diferents? Doncs sí. En Geometria, el concepte “distància” no és més que una fòrmula matemàtica. Qualsevol cosa pot ser una distància, sempre que compleixi unes determinades propietats: la no negativitat (la distància entre dos punts sempre ha de ser un valor positiu: no té sentit dir que dos objectes estan separats -5 metres), la simetria (això és fàcil d’entendre: la distància entre un punt A i un punt B ha de ser la mateixa que entre B i A, sense dependre d’en quin sentit la mesurem), la identitat dels indiscernibles (cosa que sona molt complicada, però que només vol dir que, si la distància entre A i B és zero, llavors A ha de ser necessàriament igual a B: és a dir, que dos punts diferents no poden ocupar el mateix lloc en l’espai) i una última que s’anomena la desigualtat triangular, que és la que més ens interessa.

La desigualtat triangular diu que la distància entre A i B serà sempre inferior (o, com a màxim, igual) a la suma de les distàncies entre A i C i entre C i B. Que què? Doncs que anar directament d’un punt a l’altre sempre serà més curt que passar per un tercer punt.

Al tanto, que anar directament d’un punt a l’altre no necessàriament vol dir anar en línia recta de l’un a l’altre punt. Això coincideix per a la distància euclídia (la que estem acostumats a utilitzar), però per a altres definicions de distància el concepte “línia recta” pot ni tan sols no tenir sentit.

És exactament el què passa amb el món real. Quan he dit que era clar sobre el paper, ho he dit en el sentit més literal de l’expressió: funciona bé sobre el paper, perquè el paper és una superfície plana.

Però el món no és una superfície plana, sino un el·lipsoide. No es pot traçar una línia autènticament recta en la superfície d’un el·lipsoide. Si volguéssim anar en línia recta d’un punt de la Terra a l’altre, hauríem d’excavar un túnel en l’espai tridimensional: un túnel perfectament recte que, travessant l’escorça, ens conduís d’un lloc a l’altre.

Però no és així com ens desplacem pel nostre planeta (afortunadament), sino recorrent-ne la superfície bidimensional corba. En conseqüencia, ens trobem en un cas de Geometria no-euclídia, en què les línies rectes no existeixen i els tres angles d’un triangle no tenen per què sumar 180º.

Això normalment no té cap importància a escala local: quan ens movem per una ciutat en la nostra vida quotidiana, ho fem com si fos plana. (De fet, anomenem plànol al mapa que utilitzem per orientar-nos-hi). No té cap sentit considerar la corbatura terrestre a aquesta escala, perquè la seva influència és mínima. Així que, senzillament, la negligim, tractem el nostre entorn com si fos pla i apliquem la Geometria euclídia de tota la vida.

Aquesta imatge (que he tret de Wikipedia), no té preu: podem veure la diferència de geometries a les dues escales: no-euclídia a escala global i pràcticament euclídia i plana a escala local. Fixeu-vos en la suma dels angles dels triangles.

Ara bé, la cosa canvia quan parlem de grans distàncies. És el cas, per exemple, de la navegació marítima o aèria, on fa molt de temps que van descobrir que amb això de les línies rectes no tenien gaire futur. En efecte, has de recórrer mig món amb el teu vaixell (o avió), t’interesses força per quin és el camí més curt per arribar-hi. I com ho fan? Doncs seguint les anomenades loxodròmiques o línies de rumb constant.

Les loxodròmiques es coneixen ja des de 1546. No són el camí més curt possible entre dos punts (que correspon a les ortodròmiques, o arcs del cercle màxim), però sí que han estat, tradicionalment, molt més fàcils de seguir. Mentre que tractar de seguir una ortodròmica obliga a continus canvis de rumb i correccions, una loxodròmica descrita entre dos punts talla tots els meridians segons el mateix angle, cosa que equivaldria a dirigir-se sempre cap al mateix punt de la brúixola (per això s’anomenen línies “de rumb constant”). En aquest aspecte, el nostre cervell les interpreta com a “rectes”. De fet, una de les raons de l’utilització massiva de la projecció de Mercator al llarg dels últims 500 anys és que, en ella, les loxodròmiques hi apareixen com a línies rectes. Però no ens equivoquem: disten molt de ser rectes. En realitat, si allarguéssim una loxodròmica qualsevol fins als seus extrems, tindríem una espiral enroscada al voltant de la Terra, des d’un pol a l’altre.

Més fàcil és de representar-nos una ortodròmica: si imaginem la Terra com una esfera (en realitat és un el·lipsoide, però és més senzill imaginar-s’ho amb circumferències que no pas amb el·lipses), una ortodròmica entre dos punts (posem-hi A-New York i B-Londres, que més o menys encaixen amb el dibuix) consisteix en moure’s seguint l’única circumferència de la superfície de l’esfera que, tenint com a centre el centre de l’esfera, passa per aquests dos punts. Que què? Doncs que, de la mateixa manera que, en un pla, per dos punts qualssevol sempre hi passa una recta, en la superfície d’una esfera per dos punts qualssevol sempre hi passa una circumferència que “talla” l’esfera en dues meitats iguals: el cercle màxim. Exemples de cercle màxim serien l’Equador i els meridians (els paral·lels, per contra, no serien cercles màxims, ja que els seus centres no coincideixen amb el de la Terra i, per consegüent, no tallen el planeta en dues meitats iguals). Si ens movem d’un punt a l’altre seguint aquest cercle màxim que passa per tots dos, haurem fet el camí més curt possible entre ells, la seva ortodròmica.

Però, com deiem, una ortodròmica no és evident sobre el terreny: al contrari que una loxodròmica, creua cada meridià segons un angle diferent, cosa que obliga a continus ajustaments del rumb i que constitueix la raó per la qual històricament s’ha navegat utilitzant les loxodròmiques (que, al capdavall, tampoc no són gaire més llargues que l’ortodròmica entre els mateixos punts). Ara bé, com tot, amb el desenvolupament de les noves tecnologies, la progressiva automatització de tots els processos, el GPS i totes les altres ajudes a la navegació, cada cop es fa més senzill abandonar la navegació loxodròmica i acostar-se més a l’ortodròmica.

Qui sap? Potser no falta tant per a què viatgem seguint sempre el camí més curt entre els dos punts. Però de l’única cosa que puc estar segur és que no serà una recta.

P.D. Potser seria interessant notar que, tot i no ser cercles màxims, els paral·lels tallen tots els meridians amb el mateix angle (90º), amb el què constitueixen un cas particular de loxodròmiques. Fixem-nos, llavors, que això fa de l’Equador una ortodròmica i una loxodròmica al mateix temps. El mateix raonament pot aplicar-se als meridians (que serien ortodròmiques al mateix temps que loxodròmiques d’angle 0º).